Metode Lagrange

METODE LAGRANGE

Salah satu masalah umum kalkulus multivariabel adalah menemukan maksimum atau minimum dari suatu fungsi, tetapi seringkali terjadi kesulitan untuk menemukannya. Kesulitan ini sering timbul ketika memaksimalkan atau meminimalkan fungsi mengikuti kendala.Metode Lagrange adalah alat yang ampuh untuk memecahkan masalah ini tanpa perlu secara eksplisit mengatasi kondisi dan menggunakannya untuk menghilangkan variabel ekstra.

Metode lagrange menyajikan suatu prosedur aljabar untuk penentuan titik P₀ dan P₁. Karena di titik- titik demikian, kurva ketinggian dan kurva kendala saling menyinggung (mempunyai garis singgung yang sama dan mempunyai suatu garis tegak lurus bersama. Tetapi disebarang titik dari kurva ketinggian, vector gradien ∇f tegak lurus terhadap kurva ketinggian, dan dengan cara serupa ∇g tegak lurus terhadap kurva kendala.jadi, ∇f dan ∇g sejajar di Po dan juga P₁. Yaitu:

∇f(Po) = λ₀ ∇g (P₀)      dan      ∇f(P₁) = λ₁ ∇g (P₁)     

λ adalah Multiplier konstanta yang tidak diketahui, diperlukan karena besarnya dari dua gradien mungkin berbeda.

Andaikan f (x,y) dimaksimisasi atau diminimisasi dengan batasan g (x,y) = 0. Maka bentuk fungsi objektifnya adalah;

F ( x, y, λ ) = f (x,y) – λ. g (x, y)

Diferensiasikan F ( x, y, λ ) secara Parsial terhadap x, y dan λ dan dinyatakan hasilnya sama dengan nol.

=  - λ = 0

 =  - λ = 0

= g (x, y) = 0

­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­            Jadi, bila batasan terpenuhi g (x, y) = 0, yang berarti λ g (x, y) = 0 ( terlepas nilai λ ). Dalam hal ini fungsi obyektif menjadi fungsi f (x,y) tanpa batasan.  Sehingga kemungkinan maksima atau minima memenuhi kendala.

Untuk ttik kritis x = a, y = b, maka :

·         Bila  = 0 ; dimana, x = a, dan y = b  dan Bila   = 0 ; dimana, x = a, dan y = b dan

Δ* =  = ²

Maka bila

·         Δ* > 0 → max pada x = a, y = b. Bila  < 0 dan  

·         Δ* > 0 → max pada x = a, y = b. Bila > 0 dan  

·         Δ* ≤ 0 → maka tes gagal sehingga harus diuji sekitar x = a,  y = b

Perhatikan :

• Bila Δ < 0,berarti titik krisis bukanlah merupakan maksimum atau minimum (Maksima dan minima tanpa kendala)
• Bila  Δ* < 0 titik krisis dapat merupakan maksimum atau minimum (Maksima dan minima berkendala).

Hal ini berhubungan dengan kenyataan bahwa suatu titik dapat merupakan nilai maksimum atau minimum suatu fungsi kendala walaupun bukan merupakan maksima atau minima fungsi tanpa kendala (Kondisi yang perlu untuk mencari nilai kritis adalah : F_x = 0, F_y = 0)

Adapun Cara yang mudah untuk menentukan nilai maksima atau minima dengan kendala

1. F_xx . F_yy – F²_xy  > 0 maka

·      Maksimum bila F_xx < 0, dan F_yy < 0

·      Minimum bila F_xx > 0, dan F_yy > 0

2. F_xx . F_yy – F²_xy  ≤ 0 maka tes gagal sehingga harus diuji untuk nilai sekitar nilai kritis.

Catatan :

Metode lagrange ini dapat diperluasuntuk fungsi dan variabel n f ( x₁, x_2, x_3,....., x_n) dengan kendala g ( x₁, x_2, x_3,....., x_n) = 0

Contoh :

1.    Carilah maksima atau minima untuk  f (x, y) = x² +3 y² - xy dengan kendala x + y = 1.

Penyelesaian:

F ( x, y, λ ) = x² +3 y² – xy – λ. (x + y – 1)

 = 2 x – y – λ

 = 6y – x – λ

 = x + y – 1

Dengan membuat setiap turunan parsial = 0, maka

2 x – y – λ = 0

6y – x – λ = 0

x + y – 1 = 0

dengan menggunakan metode eliminasi, menghasilkan x =  , y =  , λ =

Kemudian, persamaan tadi, diturunkan lagi

 = 2

 = 6

 = -1

Δ* = (2) (6) – (-1)²

     = 13

 > 0 dan > dan juga  Δ* > 0

Maka  titik (  ,  ) adalah minimum dari f (x ,y)

2.      Tentukanlah nilai maksima atau minima fungsi f (x,y) = 3x² – xy + 4y² terhadap kendala 2 x +y = 21

Penyelesaian:

F ( x, y, λ ) = 3x² – xy + 4y²  – λ ( 2 x +y – 21)

 = 6x – y   – 2λ

 = - x  + 8y – λ

 = 2 x +y – 21

Dengan membuat setiap turunan parsial = 0, maka

6x - y  –2λ = 0

 - x  + 8y – λ = 0

2 x +y – 21 = 0

dengan menggunakan metode eliminasi, menghasilkan x = 8,5 , y =   , λ = 35. Kemudian, persamaan tadi, diturunkan lagi

  = 6

 = 8

 = -1

Δ* = (6) (8) – (-1)²      = 47

 > 0 dan  > dan juga Δ* > 0

Maka  titik (  ) adalah minimum dari f (x ,y)

3.    Tentukanlah nilai maksima atau minima fungsi f (x,y) = xy – x² – y²  terhadap kendala

      x + y = 20

Penyelesaian:

F ( x, y, λ ) = xy – x² – y²    – λ (x + y = 20)

 = -2x + y   – λ

 = x  - 2y – λ

 = x + y = 20

Dengan membuat setiap turunan parsial = 0, maka

-2x + y   – λ = 0

 x  - 2y – λ= 0

x + y  - 20 = 0

dengan menggunakan metode eliminasi, menghasilkan x =-10 , y =   , λ = 80

Kemudian, persamaan tadi, diturunkan lagi

  = -2

 = -2

 = 1

Δ* = (-2) (-2) – (1)²     = 3

 < 0 dan  < 0 dan juga Δ*  > 0

Maka  titik (  ) adalah maksimum dari f (x ,y)

4.      Sebuah perusahaan menghasilkan dua jenis produk x dan y. Biaya patungan dinyatakan dengan fungsi f (x,y) = 3x² + y² – xy. Untuk minimalisasi biaya berapa produk dari setiap jenis yang harus dihasilkan adalah 10, sehingga fungsi kendalanya x + y = 10

       Penyelesaian

F ( x, y, λ ) = 3x² + y² – xy    – λ (x + y = 10)

 = 6x - y   – λ

 = 2y – x – λ

 = x + y = 10

Dengan membuat setiap turunan parsial = 0, maka

6x - y   – λ = 0

       2y – x – λ = 0

       x + y  - 10 = 0

dengan menggunakan metode eliminasi, menghasilkan x =-3 , y =   , λ =11

Kemudian, persamaan tadi, diturunkan lagi

  = 6

 = 2

 = -1

Δ* = (6) (2) – (-1)²      = 11

 > 0 dan    > 0 dan juga Δ*  > 0

Maka  titik (  ) adalah minimum dari f (x ,y)

Latihan

1.      Tentukanlah nilai maksima atau minima fungsi f (x,y) = xy – 3x² – 4 y² dengan kendala x + y = 14

2.      Carilah maksima atau minima untuk  f (x, y) = 6x² + y² – xy dengan kendala

 3x – 2y =15

3.      Sebuah perusahaan menghasilkan dua jenis sepeda x dan y. Biaya patungan dinyatakan dengan fungsi f (x,y) = 2x² + 10y²– xy. Untuk minimalisasi biaya berapa produk dari setiap jenis yang harus dihasilkan adalah 26 !